一、旋转液体抛物面公式推导
盛有液体的开口圆桶，设圆桶以定转速绕其中心铅垂改旋转，则由于液体粘性的作用，与容器壁接触的液体层，首先被带动而旋转，并向中心发展，使所有的液体质点都绕该轴旋转。待运动稳定厉，各质点都具有相同角速度，液面形成一个漏斗形的旋转面。将坐标系取在运动着的容器上，原点取在旋转轴与自由表而交点上，z轴垂直向上。根据达朗伯原形，作用在液体质点上的质量力除了重力以外，还要虚加一个大小等于液体质点的质量乘以向心速度，方向与向心加速度相反的离心惯性力。对于等角速圆周运动来说，液体中任一质点m(x,y,z)处的离心惯性力F=mrω²
式中M为质点质量，ω为角速度即为圆桶的转速，r为该点所在位置的半径，r=√(x²+y²)。单位质量离心力F/m在x轴、y轴方向的分量为
X=rω²cosα=xω²，Y=rω²sinα=yω²
沿远方向的质量力分量为 Z=-g
下面求流体静压力分布规律和等压面方程。
将单位质量力带入流体平衡微分方程式的全微分表达式有
dp=ρ(xω²dx+yω²dy-gdz)
积分有 p=ρ(1/2x²ω²+1/2y²ω²-gz)+C 或 p=ρ(1/2r²ω²-gz)+p0
根据边界条件，当r=0,z=0时，p=p0，
积分常数C=p0于是得 p=ρ(1/2r²ω²-gz)+p0
这就是等角度旋转容器中液体游压力分布公式。公式说明；在同一高度上，液体静压力
沿径向按半径二次方增长。
将单位质量力带入等压面微分方程式有
dp=ρ(xω²dx+yω²dy-gdz)=0
积分有1/2x²ω²+1/2y²ω²-gz=0 或 1/2r²ω²-gz=C
这说明，等压面条一按绕z轴的旋转抛物面。在自由表面上当r=0,z＝0可得积分
常数C=0，故自由液面方程为z=ω²r²/2g
楼主所说的2就是此处的2，通过等压面微分方程积分得到。
二、什么是旋转抛物面
抛物面，是指抛物线旋转180°所得到的面。数学上的抛物线就是同一平面上到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离相等的点的集合 。
抛物面是二次曲面的一种。抛物面有两种：椭圆抛物面和双曲抛物面。
中文名
抛物面
外文名
paraboloid
定 义
抛物线旋转180°所得到的面
应 用
车灯、手电筒以及雷达
抛物线
到定点与到定直线距离相等点集合
标准方程
x^2+y^2-z/a^2=0
目录
1概念解析
2例子
3性质
4曲率
概念解析
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抛物面是二次曲面的一种。抛物面有两种：椭圆抛物面和双曲抛物面。椭圆抛物面在笛卡儿坐标系中的方程为：[1]
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双曲抛物面在笛卡儿坐标系中的方程为：
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例子
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在车灯、手电筒等照明器具以及雷达中应用得非常多。它们的反光面或者反射面都是抛物面。
性质
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当a = b时，曲面称为旋转抛物面，它可以由抛物线绕着它的轴旋转而成。它是抛物面反射器的形状，把光源放在焦点上，经镜面反射后，会形成一束平行的光线。反过来也成立，一束平行的光线照向镜面后，会聚集在焦点上。[2]
曲率
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椭圆抛物面的参数方程为：
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高斯曲率为：
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平均曲率为：
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它们都是正数，在顶点处最大，越远离顶点曲率越小，并趋近于零。
双曲抛物面的参数方程为：
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高斯曲率为：
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平均曲率为：
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三、旋转抛物面方程为z=2-(x^2+y^2)
将曲面方程写成F(x,y,z)=0的形式,分别对自变量求偏导数,就是在这点的法向量.
F=2（x^2） + 2（y^2）-4-z
所以法向量为(4 -4 -1)
知道法向量了,直线方程就很容易写了
四、抛物线旋转的标准方程
问题中的抛物线方程为以（k,k）为中心的抛物线方程，其可通过平移方式转换成标准方程。
下面仅以标准抛物线方程进行说明。
抛物线旋转后有两种情形：
1、绕着对称抽旋转得到旋转抛物面，形状见 手电筒的灯碗
2、绕准线轴旋转得到另一旋转抛物面，形状见 热电厂的烟囱
旋转方程： 绕x轴转， 讲方程中的x替换成 根号（x^2+z^2）;
绕y轴转， 讲方程中的y替换成 根号（y^2+z^2）;
中心不在（0,0），同样道理。
五、怎样计算旋转抛物面的面积
旋转曲面的面积
设平面光滑曲线 C 的方程为
（不妨设f(x) ≥0）这段曲线绕 x 轴旋转一周得到旋转曲面，如图3所示。则旋转曲面的面积公式为：
如果光滑曲线 C 由参数方程：
给出，且 y(t) ≥0，那么由弧微分知识推知曲线 C 绕 x 轴旋转所得旋转曲面的面积为：
扩展资料
旋转抛物面方程
在一个平面上，只有抛物线，你可以把一条平面上的抛物线看成是一个3维的抛物面与一个过其中心轴并与之平行的平面相交的结果。这个3维的抛物面若为z=f(x,y)，则其与zox平面的相交线为z=ax²，与zoy平面的相交线为z=ay²，zoy可以视为zox绕抛物面的中心轴转转了90°。
如果平面转角不是90°，而是其它度数，则z与x,y就同时有关了，但在任何一个z=b的点上，在两个坐标系平面上各有b=ax²和b=ay²。而在非xoz和yoz的平面上，则应有b=a(x²+y²)。这样，通式就是z=a(x²+y²)。
一个以原点为顶点的抛物线方程说的是，z值(高度)与到原点的距离有关，关系是二次的，系数是a。在xoz平面上，z是高度，x是到原点的距离；在yoz平面上，z是高度，y是距离；在xoz和yoz之间的旋转平面上，z是高度，√(x²+y²)是距离。系数都是a。
六、旋转抛物面方程
x=0时,y^2=2pz.
绕z轴旋转,旋转半径R^2=2pz
在xoy平面上,轨迹是O(0,0)为圆心,半径R^2=2pz的圆
即x^2+y^2=2pz
