一、如何求零空间和像空间的基与维数
最简单最快速的方法是利用欧氏空间的一个定理：如果空间的维数为n,则空间内任意n个线性无关的向量可以做该空间的基底.矩阵的行秩等于列秩.
来看这道题：首先初等行变换矩阵变为阶梯型,发现该矩阵的秩为3.那么,这个矩阵中任意三个线性无关的行向量就是该矩阵行空间的基底,这个矩阵只有3个行向量,那这三个行向量就是基底.
然后看列空间,第一列与第四列明显线性无关.记这两条列向量为a1,a4,为了验证a2,a3中哪条向量与这两条线性无关,做出假设,a2与a1,a4线性相关,则存在数x,y,使得xa2+ya3=a2.得到x+y=3,2x+2y=1,3x+6y=4,光看前两个式子就知道这样的x,y不存在.所以a1,a2,a4线性无关,所以a1,a2,a4就是列空间的基底.
这个方法是极为快速简洁的方法,总比换底公式快的多的多.
零空间的基实际上笨法子就是最好的办法：初等行变换得如下矩阵
1 3 -2 1
0 -5 7 0
0 0 16 4
令x4=1,解得x3=-1/4,x2=-7/20,x1=-9/20
(-9/20 -7/20 -1/4 1)就是零空间的基底.实际上求零解空间的基底就是求Ax=0的基础解系
二、一个矩阵的零空间是什么?它的基和维数怎么求?
零空间就是齐次线性方程组Ax＝0的全部解,基就是基础解系,维数是n－r(A),n是未知元的个数,r是A的秩.
三、零空间的维数是什么？
零空间维数也叫零度，本文写的也就是零度的几何意义
假设零度为0，那么他的几何意义代表的就是一个点。
零度为1，代表一条线。
零度为2，代表一个平面。
零度为3，代表一个空间。
零空间性质：
如果A是矩阵，它的零空间就是所有向量的空间的线性子空间。这个线性子空间的维度叫做A的零化度（nullity)。这可以计算为在矩阵A的行梯阵形式中不包含支点的纵列数。秩——零化度定理声称任何矩阵的秩加上它的零化度等于这个矩阵的纵列数。
对应于零奇异值的A的右奇异向量形成了A的零空间的基。
A的零空间可以用来找到和表达方程Ax=b的所有解（完全解）。如果x1是这个方程的一个解，叫做特定解，那么方程的完全解等于它的特定解加上来自零空间的任何向量。特定解依b而变化，而零空间的向量不是。
要证明这一点，我们考虑每个方向。在一个方向上，如果Ay=b，且Av=0，则明显的A(y+v) =Ay+Av=b+0=b。所以y+v也是Ax=b的解。在其他方向上，如果我们有对Ax=b的另一个解z，则A(z−y) =Az−Ay= b−b = 0。
所以向量u=z−y在A的零空间中而z=y+u。所以任何解都可以表示为一个零空间中的向量加上特定解y。
如果一个线性映射A是单同态，则它的零空间是零。因为如果反过来它的零空间是非零，由类似上面的方法可以得出Ay=b的解不止一个，也就是说线性映射A不是单射了。
如果映射是零映射，则零空间同于映射的定义域。
四、维数公式指的是什么?
维数公式是和空间的维数等于空间维数之和减交空间的维数。dim(V+U)=dimV+dimU-dim(V∩U)，举个例子，在三维空间中，xOy平面所在的二维空间与yOz平面所在的二维空间的和空间是三维空间，此两者的交空间是一维y轴。
若是交空间为零空间{0}，其维数为零，那么可以将和空间进行直和分解：dim(V⊕U)=dimV+dimU例如x轴的一维空间与yOz平面的二维空间的直和为三维空间。
定理断言：
该定理断言:对于任意自然数n有ind R"=Ind R"=dim R"=n.dim R" =n是勒贝格(Lebesgue,H. L.)于1911年，布劳威尔(Brouwer,L. E. J.)于1913年分别证明的。
Ind R" = n是布劳威尔(Brouwer, L. E. J.)于1913年证明的 .ind R" = n是门杰(Menger, K.)于1924年，乌雷松(Ypmcon, II. c.)于1925年分别证明的。
一维只有长度。
二维平面世界 只有长宽。
三维长宽高 立体世界 我们肉眼亲身感觉到看到的世界 三维空间是点的位置由三个坐标决定的空间。客观存在的现实空间就是三维空间，具有长、宽、高三种度量。数学、物理等学科中引进的多维空间概念，是在三维空间基础上所作的科学抽象。
四维一个时空的概念 日常生活所提及的“四维空间”，大多数都是指阿尔伯特·爱因斯坦在他的《广义相对论》和《狭义相对论》中提及的“四维时空”概念。
我们的宇宙是由时间和空间构成。时空的关系，是在空间的架构上比普通三维空间的长、宽、高三条轴外又加了一条时间轴，而这条时间的轴是一条虚数值的轴。根据阿尔伯特·爱因斯坦相对论所说：我们生活中所面对的三维空间加上时间构成所谓四维空间。
五、矩阵A的秩为n，则该矩阵的零空间的维数是多少？
维度，就是从一维开始的。
假设A是nxn矩阵，那么r（A）＝n说明A满秩。
零空间＝｛x｜Ax＝0｝，由于A满秩，故x只有零解，这是由定义推导的。
零空间的维数＝dim（｛0｝）＝0。
同样可以记一个式子：dim（null（A））＋rank（A）＝n。
扩展资料
如果A是一个矩矩阵，它的零空间是所有向量空间的线性子空间。这个线性子空间的维度被称为的零度a．这可以计算列的数量，不包括行阶梯形式的矩阵a的支点纵列数定理指出，任何矩阵的秩加上它取消学位等于矩阵的列数。
对应于零奇异值的A的右奇异向量构成了A的零空间的基。
参考资料来源：百度百科-零空间
